积分的应用
一、微元法
设整体量 与区间 相关, 且具有可加性, 即
若 , 则 , 此为微元法
-
在 上取长度为 子区间
-
写出 上部分量
-
结论
Proof
设 连续,其在 上最大值为 ,最小值为 若
应用:
二、平面曲线弧长
可求长曲线
在曲线 上依次取分点
连内折线. 记线段 的长度为 ,
, 则 的弧长
有极限只需有上界此时 称为 #可求长曲线
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_12_3f4da1b1e9664128b1ebg-03.jpg?height=507&width=931&top_left_y=1143&top_left_x=1397)
弧微分公式
为弧长函数
直角坐标方程参数方程
微元法:直观但不严谨
Proof 直角坐标方程
Proof 参数方程
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_12_3f4da1b1e9664128b1ebg-04.jpg?height=596&width=979&top_left_y=295&top_left_x=1417)
图中的三角形为弧微分三角形:三边
因此可得到
弧长公式
设 , 则
设 , 则
若, 则
Proof
例题
例1 求曲线 上点 与 间的弧段长.
Solution
例2 求曲线 弧长.
Solution
例3 求心脏线 全长.
Solution
二倍角注意根号!
例 4 求椭圆 周长.
Solution
遗憾的是, 时属于不可积函数 => 需要查 椭圆积分表(近似)
该类函数被称为椭圆的第二类积分
三、平面图形面积
若 的参数方程为 , , 且 , 则曲线 , 与直线 及 轴所围面积
例5 求椭圆 所围面积
Solution
曲线 与射线 及 所围面积
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_12_3f4da1b1e9664128b1ebg-07.jpg?height=682&width=723&top_left_y=517&top_left_x=1523)
Proof
以 为圆心角,最小和最大半径分别做两个扇形
被 最大/小值夹住
例6 求曲线 (双纽线) 所围面积
Solution
只需算4倍的第一象限面积
注意:范围不是 ,而是
四、旋转体体积(平行截面面积已知的体积)
设立体 夹于平面 间, 过点 且垂直 轴平面截 的截面面积 , 则 的体积
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_12_3f4da1b1e9664128b1ebg-08.jpg?height=517&width=772&top_left_y=596&top_left_x=1623)
曲线 与 及 轴所围图形绕 轴旋转
例7 求正弦曲线 与 轴所围图形绕坐标轴旋转的旋转体体积.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_12_3f4da1b1e9664128b1ebg-09.jpg?height=421&width=823&top_left_y=427&top_left_x=1454)
Solution
曲线 与 及 轴所围图形绕 轴旋转所得旋转体体积
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_12_3f4da1b1e9664128b1ebg-09.jpg?height=596&width=944&top_left_y=1099&top_left_x=1374)
Proof
底面积高被夹住
五、旋转体侧面积
曲线 绕 轴旋转所得曲面称为 旋转面
- 侧面积(圆台状)不一定能被圆柱的侧面积夹住,不能用圆柱侧面积
- => 使用圆台的侧面积
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_12_3f4da1b1e9664128b1ebg-10.jpg?height=587&width=848&top_left_y=392&top_left_x=1547)
微元区间 所对应带形曲面面积
Proof
故旋转面侧面积
例8 求正弦曲线 绕 轴旋转所成曲面的面积.
Solution
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_12_3f4da1b1e9664128b1ebg-11.jpg?height=437&width=822&top_left_y=483&top_left_x=1448)
例9 求星形线 绕 轴旋转所得旋转面面积.
Solution
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_12_3f4da1b1e9664128b1ebg-11.jpg?height=851&width=676&top_left_y=920&top_left_x=1652)